クジが外れない確率を求めよ。「少なくとも1つ以上〇〇」問題を解説

2年

問題

難易度☆☆

この問題を解くのに必要な考え方は次の二つです。

特に、難しい言葉で言うと「順列」「組み合わせ」の区別が初めはわかりづらいかもしれません。

授業パートでわかりやすく解説しているつもりなので、よくよく見ていって下さい。

「5人でかけっこをした時の、1等と2等」の選び方は何通りあるか考えてみましょう。

まず、5人を区別するためにそれぞれA~Eという名前をつけます。

5人程度なので樹形図を描いてもいいですが、より多い数にも対応できるよう、あえて図を使わず考えるやり方も学びましょう。

樹形図でいうと、1人目が5人いて、そこからそれぞれ4本ずつの枝が伸びているイメージです。

「1人目を5人から選んで、残りの4人から2人を選ぶ」という人もいます。

一般に、n人からr人を順番に選ぶ選び方は、\(n\times (n-1)\times (n-2)\times\)…と、r回続ければ求まります。

次に、「5人のうちから2人の実行委員を選ぶ」選び方は何通りあるでしょうか。

「5人から2人を選ぶんだから、上と同じで20通りじゃないの？」と思うかもしれませんが、この場合は違います。

なぜなら、順列と違い組み合わせでは順番を気にしないからです。

詳しく解説します。

まず、順列の場合は順番を気にするので、”A-B”と”B-A”のような「組み合わせは同じだが順番が違う」パターンを別々に数えています。

つまり、同じ組み合わせを2回ずつ数えてしまっているわけです。

なので、順番を気にしない組み合わせの場合は2で割ってあげて、10通りです。

今回は、選んだ2人の並べ替えが2通りだったので、順列を2で割ることで組み合わせを求めることができました。

この並べ替えは、「2人のうちから2人を選ぶ順列」と捉えることができ、\(2\times 1\)で求めることができます。

一般に、r人の並べ替えは\(r\times (r-1)\times … 2\times 1\)で求めることができます。

順列を求めて、この並べ替えで割れば組み合わせが求まります。

例えば、「3枚クジを引いて少なくとも1枚あたる」確率を求めるような場合です。

この場合は、少し言葉の解釈を変えて「全てはずれ」ではない確率として求めます。

具体的には、「3枚全て外れる」確率を求め、1から引いてあげれば良いのです。

普段私たちがよく使う確率の最大値は100(%)です。
この場合、例えば30%の確率で当たるクジは、100から30を引いて70%の確率で当たらないクジと言い換えることができます。
数学で使う確率の最大値は1なので、一般に「〇〇ではない」確率は「1-〇〇」な確率と言い換えることができます。