問題
難易度☆☆
ある平面図形を回転させて、平面が通ったところを塗りつぶすと、立体になります。
この立体の体積を求める問題です。
まずは回転させた立体の形をうまく想像できるようにしましょう。
そして、立体を描いてみてわかる長さを書き込みましょう。
そこまですれば、「回転体の体積を求める」問題は「立体の体積を求める」問題になります。
ここからネタバレ↓↓
今回の問題は、回転させた後の立体は半球になります。
半球なので、球の表面積の公式を使えばすぐに表面積の一部を求めることができますが、ここで安心しないようにしましょう。
なぜなら、半分に切ったことで切り口も表面に出てきており、そこも表面積に含まれるからです。
つまり、半球の表面積+底面の面積 がこの回転体の表面積になります。
球の体積・表面積
球の体積や表面積を求めるには、高校や大学で習う「微分・積分」という分野への深い理解が必要です。そのため、残念ながら現時点では公式を丸暗記するしかありません。
球の半径を\(r\)とするとき、公式は次の通りです。
- 表面積：\(4\pi r^2\)
- 体積：\(\frac{4}{3}\pi r^3\)
これらは、語呂合わせもあるようなので気になる人は検索してみてください。
また、２つの公式はよく似ているため、両方覚えてもどっちがどっちかわからなくなることがあるかもしれません。その場合は、単位と結びつけて覚えるとわかりやすいかと思います。
すなわち、面積の単位は\(m^2\)のように右上に2がつくので同じく2がついている\(4\pi r^2\)が表面積、体積の単位は\(m^3\)のように右上に3がつくので\(\frac{4}{3}\pi r^3\)が体積の公式、というぐあいです。
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