何をかけたら自然数の2乗が作れるか？素因数分解の実用方法を紹介

1年

問題

難易度☆☆

問題と解説(pdf)

「素因数分解」のやり方は習ったものの、実際の問題にどう使うのか、わからない人は多いと思います。

ネタバレにはなりますが、この問題は素因数分解を応用して解く代表的な問題です。

素数とは、1とその数自身でしか割り切ることができない数のことです。
例えば、5は1と5自身でしか割り切ることができないので素数です。
しかし、4は1と4以外に2で割り切ることができるので素数ではありません。

因数とは、ある数を複数の数で表したとき、その構成要素となる数です。
例えば、24は\(12\times 2\)と表されるので、2と12は24の因数です。

素因数とは、素数である因数です。
例えば、上の例で2は24の因数であり素数でもあるので素因数ですが12は因数ではあるものの素数ではないので素因数とは言えません。

素因数分解とは、素数のみの因数になるまで分解することです。

例えば、\(24=2\times12\)ですが、12は素数ではないのでこれでは素因数分解をしたことにはなりません。

12はまだ2で割れて、6になります。

6は、2で割れて、3になります。

3は、素数なのでこれ以上割ることはできません。

これを逆にたどってかけていくと、24になります。すなわち、\(24=3\times 2\times 2\times 2\)です。
ただし、このように同じ因数が複数含まれる場合は、\(24=3\times 2^3\)というように、累乗を使って表します。
これで、素因数分解は完了です。

例題として、132を素因数分解してみましょう。
以下解説↓↓↓

最終的に11になり、これは素数なのでそれ以上は割る必要がない。

このように、132を順に素数で割っていくと、2で2回、3で1回割ると11になることがわかった。

逆にたどると、11に2を2回、3を1回かけると132になる。

よって、\(132=2^2 \times 3 \times 11\)。