袋の中の玉を取り出す確率の問題-樹形図完全攻略-

2年

問題

難易度☆☆☆

確率の単元でよく見る、袋の中から色付きの玉を取り出す問題です。

慣れると頭の中でも考えることができるようになりますが、同じ組み合わせを2回数えてしまうなどのミスを防ぐために、しっかりと図を描くのが得策かと思います。

今回の問題では樹形図ですが、樹形図は「同時に取り出す」場合と「順番に取り出す」場合で描き方が変わってきます。

それぞれの違いを見ていきましょう。

順番に取り出す場合の樹形図
今回の問題の(2)のような場合です。
1度玉を取り出した後、それを戻してもう1度取り出しているので、初めに取り出した玉を再び引く可能性があります。
そのため、”黒-黒”の組み合わせや”白a-白a”など同じ玉の組み合わせもしっかり描き込んであげましょう。
同時に取り出す場合の樹形図
今回の問題の(3)のような場合です。
(2)との違いは、「玉2つを同時に取り出している」ことです。
よって、同じ玉2つ引くことはありません。1つしか入っていない黒玉を2つ同時に取り出してしまったら発狂します。
図中に”黒-黒”や”白a-白a”といった組み合わせが描かれていないのはそのためです。
また、同時に取り出しているので順番が関係ありません。
1番左の図で”黒-白a”の組み合わせを描いているのに、2番目の図で”白a-黒”の組み合わせを描いてしまうと、同じ組み合わせを2回数えてしまうことになるので注意しましょう。
右に行くほど玉の数が減っているのは、左の方の図ですでに数えた組み合わせを除外しているからです。

今回の問題でも大活躍した樹形図は、コインの裏表問題やカードを選ぶ問題などあらゆる確率の問題で使えます。
確率の問題は図を使うことで確実にミスを減らしてくれるでしょう。

さらに問題によっては下手に頭だけで考えようとするよりサクッと図を描いてしまった方が早いことも多いと思います。

樹形図の基礎的な描き方について復習したい方はこちらをご覧ください。