おうぎ形を含む面積の問題

1年

問題

難易度☆☆

おうぎ形の一部分の面積を求める問題です。

変な形なので、面積を求めるための公式などは習いませんが、おうぎ形と三角形の面積を求められればちょっとの工夫で簡単に解くことができます。

初めは難しいかもしれませんが応用が効き、よく使う考え方なのでぜひマスターしてください。

図のような、円の一部の図形をおうぎ形(扇形)といいます。名前の通りですね。

図の$r$の長さを円と同じく半径といいます。

また、$l$の長さをおうぎ形の弧、$\theta$の角度を中心角といいます。

学校では、おうぎ形の面積と弧の長さを求める方法を習います。

学校では、おうぎ形の面積を求めるために次のような公式を習います。

$$\pi r^2 \times \frac{\theta}{360}$$

しかし、これを公式として丸暗記する必要は全くありません！

円とおうぎ形の関係を考えることができれば、その場で求められるからです。

その方法を説明していきます。適宜上の図を見ながら読んでください。

上でも書きましたが、おうぎ形は円の一部です。

一周は$360^\circ$なので、例えば中心角$\theta=60^\circ$のおうぎ形は、円の$\frac{1}{6}(=\frac{60}{360})$を占めていることになります。

円の面積は$\pi r^2 \times$(半径$\times$半径$\times 3.14$)なので、その$\frac{1}{6}$倍がおうぎ形の面積になります。

当然、中心角が$60^\circ$じゃなくても、同じように$360^\circ$のうちどれくらいの大きさの円なのかを考えれば良いので、円の面積に$\frac{\theta}{360}$をかけたものがおうぎ形の面積ということになります。

弧の長さの公式は$$2\pi r \times \frac{\theta}{360}$$ですが、こちらも面積と同じように考えることができます。

円の周りを一周すると円周であり、その公式は$2\pi r$(直径$\times3.14$)です。

中心角$60^\circ$のおうぎ形なら$\frac{1}{6}$周していることになるので、円全体の円周に$\frac{1}{6}$倍すればおうぎ形の弧の長さが求まるのです。