問題
難易度☆☆☆
食塩水の濃度を使った、方程式の問題です。
方程式の中でも、濃度の問題を苦手としている人は多いのではないでしょうか。
慌てることはありません。何を\(x\)とおくのか、何と何が等しいのか、落ち着いてよく考えて方程式を立てましょう。
授業
方程式
正体のわからない数を含む等式を方程式と呼びます。
わからない数を仮に変数\(x\)などの文字で表現して等式を作ってしまい、その等式を変形することで\(x\)の正体を求めます。このようにして変数の正体を突き止めることを「方程式を解く」といいます。
例として、簡単な方程式の文章題を解いてみましょう。
例題
10円のお菓子をいくつか買ったら、合計金額が70円になった。買ったお菓子はいくつでしょう。
解説
このとき、\(合計金額=70円\)という等式が成り立ちます。
合計金額は、\(1つの値段\times 個数\)で求めることができます。
しかし、個数を知らないので等式を作ることができません。
そこで、個数をとりあえず\(x\)とおくことにします。
すると、\(合計金額=1つの値段\times 個数=10x\)であるので、等式\(10x=70円\)が成り立ちます。
この式の両辺を10で割ると\(x=7\)となり、未知だった\(x\)の正体が7であったことがわかります。
したがって、買ったお菓子の個数は7個です。
入試では、この例題よりもとっても難しい文章題がよく出るので、日本語の文章を数式に変換する能力が必須となります。
方程式は、
- わからない値を\(x\)などの文字でおく
- 文字のままでとりあえず成り立つ等式を作る
- 計算して\(x=数字\)の等式に変形する
という手順で解きます。
方程式を解くときに使う技
分配法則
$$a × (b + c) = a × b + a × c$$
というように、括弧の外にある掛け算を、括弧の中身に対して別々に行うことで、括弧を外すことができます。
足し算、引き算のルール
文字と数字が混じっているときは、文字同士か数字同士でしか足したり引いたりできません。
例えば\(2x+3x\)という式は、2個の\(x\)と3個の\(x\)を合わせるということなので、答えは5個の\(x\)で\(5x\)になります。
しかし\(2x+3\)は文字の項と数字の項で種類が違うので、計算できません。
移項
\(2x-4=x+2\)というように、文字や数字が左右に散らばっているときに使うワザです。
方程式を解くとき、最終的な目標は\(x=\circ\circ\)という形です。つまり\(x\)を左に、数字を右に、というように集める必要があります。
そのためには、邪魔な文字や数字と同じものを両辺に引いたり足したりして打ち消します。
等式ですので左右の辺は必ず同じ値になっています。
そして、同じ値に同じ数字を足したり引いたりしても左右は同じ値になるので、等式は成り立ちます。
ただし、必ず両辺に同じことをしてあげないといけません。
等式の両辺は等しいのに、右にだけ2を足したりしたら値が変わって等式ではなくなってしまします。
では、実際に\(2x-4=x+2\)を移項を使って解いてみましょう。
試しに、\(2x-4=x+2\)の両辺に4を足してみましょう。
\begin{eqnarray*}
2x-4=x+2\\
2x-4+4=x+2+4\\
2x=x+6
\end{eqnarray*}
このように、左辺の邪魔な\(-4\)を打ち消すことに成功しました。
このとき、左辺の\(-4\)が右の項に移動したように見えます。これが移項です。ただし符号がマイナスからプラスに変わっていることに気をつけてください。
移行の際は、符号を変えるのを忘れるミスが多い印象です。慣れるまでは丁寧に「左右の項に4を足す」という考え方をした方がいいかもしれません。その場合は必ず両辺に同じ操作をすることを忘れないようにしてください。
では、\(2x=x+6\)の右の項の\(x\)を移項して方程式を解いてみてください。
\(x=6\)になりましたか？
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