問題
難易度☆☆☆
そこそこの配点の図形問題でよく出る問題2問です。
1問目は直方体の対角線の長さを求める問題です。
初めてだとどうすればいいかわからないかもしれませんが、やり方を知っていれば難しい問題ではありません。
ただし、2乗や平方根の計算が何度も出てくる場合があるので、丁寧な計算を心がけましょう。
2問目は立体のまわりに糸を巻きつけその長さを求める、こちらも定番問題です。
やはりやり方を知っていればそんなに難しくはないので、ぜひ覚えておいてください。
授業
根号を含む式の計算
根号\(\sqrt{}\)がついた数字は、二乗するとその数になる数のことを表します。ちなみに\(\sqrt{}\)はルートと読みます。
例えば\(\sqrt9\)(ルート9、9の平方根)とは、二乗すると9になる数、つまり\(\pm3\)のことです。ただし、一般に\(\sqrt9\)は3を、\(-\sqrt9\)は-3を表します。
では、根号\(\sqrt{}\)のついた数字が計算式中で出てきたときにはどのように扱えば良いのでしょうか？
\(\sqrt{}\)の扱いは、足し算&引き算の場合と掛け算&割り算で扱い方が違うので、分けて考えます。
足し算&引き算
\(\sqrt{}\)がついた数字を足したり引いたりする場合、基本的に文字と同じように考えることができます。
つまり、\(3a+a=4a\)であると同様に\(3\sqrt2+\sqrt2=4\sqrt2\)は計算できますが、\(3\sqrt2+\sqrt3\)はこれ以上人の手で計算することができません。
掛け算&割り算
\(\sqrt{}\)がついた数字をかけたり割ったりする場合、少し新しい考え方が必要になります。
文字と違って、\(\sqrt{}\)の中の数字同士でかけたり割ったりできるからです。
例えば、\(\sqrt2\times\sqrt3=\sqrt{2\times3}=\sqrt{6}\)となります。
逆も同様で、\(\sqrt{6}=\sqrt{2\times3}=\sqrt2\times\sqrt3\)と分解することもできます。
根号の扱い方がわかってきたでしょうか。
根号には、少し難しいですがぜひ理解して欲しいことがあるので最後に書いておきます。
簡単化
因数分解を利用すると、表記を簡単にできることがあります。計算途中で複雑な平方根が出た場合、その場でできる限り簡単な表記に直す癖をつけましょう。こうすることで計算が単純になりミスが減るはずです。
例えば、\(\sqrt{180}\)は次のように簡単化できます。
\begin{align*}
\sqrt{180}&=\sqrt{2\times2\times3\times3\times5}\\
&=\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}\times\sqrt{3}\times\sqrt{5}\\
&=2\times3\times\sqrt5\\
&=6\sqrt5
\end{align*}
三平方の定理
図のような直角三角形があります。
そして、直角を挟む2辺の長さをaとb、直角の反対側にある辺(斜辺といいます)の長さをcとします。
このとき、$$a^2+b^2=c^2$$が成り立ちます。
例えば\(a=2\mathrm{cm}\)\(b=3\mathrm{cm}\)のとき、斜辺の長さcは、
\begin{align*}
c^2&=a^2+b^2\\
&=2^2+3^2\\
&=4+9\\
&=13\\
\end{align*}
よって、\(c=\sqrt{13}\)
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