距離を求める連立方程式の問題

2年

問題

難易度☆☆

連立に限らず、方程式の問題はまず何を文字でおくかが悩みどころです。

今回の問題は速さや距離が関わってくるので、苦手な人はさらに分かりにくいかもしれません。

しかしこのような問題は解き方が複数ある場合があります。なので、まずは何かわからない値を文字でおいて、式を作ってみると良いでしょう。

今回は、2パターンの解き方を解説しています。

1つ目は連立方程式の計算は比較的楽ですが、求めたxとyを問題できかれている値に変換する必要があります。

2つ目は分数が出てきて連立方程式の計算が少し面倒くさいですが求めたxとyをそのまま答えの欄に書くことができます。

問題の種類や自分の得意・不得意に合わせて選べるようになりましょう。

連立方程式とは文字が複数含まれる方程式を複数組み合わせて解くことです。

しかし、複数の文字が含まれると方程式の解を完全に求めることができません。

まずは以下の方程式を解いてyの値を求めてみましょう。

$$x+y=2$$

これを$y$について解くと $y=2-x$ です。

つまり、$x=1$なら$y=1$、$x=2$なら$y=0$、$x=3$なら$y=-1$…と、xの値が変わるとyの値も変わってしまい、xとyが1つに定まりません。

では、このxとyに $x=y$ というもう1つの制約を付け加えるとどうでしょうか？

$一x+y=2$ を満たし $x=y$ も満たすxとyの組み合わせは $x=1,y=1$ しかありませんので、解を1つに決めることができます。

無事に、

\begin{cases}
x+y=2\\
y=x
\end{cases}

という2つの式を組み合わせることで2つの文字xとyを求めることができました。

このように、複数の方程式を組み合わせて使い、複数の文字を解くことを連立方程式といいます。

一般に、式に含まれる文字の数と等式の数が同じだと連立方程式を解くことができます。

ただし、\begin{cases}
x+y=2\\
2x+2y=4
\end{cases}のように一方の式を変形してもう一方の式になる場合、2つの式は同じことを表しているので連立方程式にはなりません。

連立方程式は代入法と加減法という2通りの解き方があります。

どちらの方法も、式をうまく組み合わせて文字を1つずつ排除し、文字を1つしか含まない方程式を作ることが目的です。

問題によって解きやすい方法が変わるので、使い分けましょう。

どちらかの式の文字に別の式を代入して、1つの文字を無くす方法です。

例として、

\begin{cases}
y=x+2…A\\
2x+3y=11…B
\end{cases}

を解いてみましょう。以下のような順番で解きます。
今回は、式Bのyの部分がxの式で置き換わることでxのみの方程式になっています。

式Aの$y=x+2$を式Bの$y$に代入する
$$2x+3(x+2)=11$$
$y$は$x+2$と等しいということなので、入れ替えても問題はありません。
式Bのyの部分が式Aの右辺と入れ替わっています。
式Bが$x$のみの方程式になるので$x$について解く

\begin{align*}
2x+3(x+2)=11\\
2x+3x+6=11\\
5x=5\\
x=1
\end{align*}
もとの式に代入して$y$を求める
$x=1$をもとの式A ($y=x+2$) に代入して計算すると、$y=3$。
もちろん、式Bに代入しても同じ答えになるはずです。

よって、$x=1,y=3$が答えです。

どちらかの式から別の式を引くことで一つの文字を打ち消す方法です。

\begin{cases}
x+2y=3…A\\
2x+3y=-1…B
\end{cases}

を解いてみましょう。