平方根の応用問題

3年

問題

難易度☆☆☆

シンプルな問題ですが、テクニックが詰まっています。

第一に、平方根に慣れていないとよく考える前に飛ばしてしまうでしょう。
平方根はただの少数です。無限に続くので、代わりに記号で書いているだけです。

第二に、多項式に式を代入して計算する問題の解き方です。順番を間違えると、複雑な２乗の計算が出てきてミスをしやすくなる場合が多いです。

受験ではそんなに配点は大きくないと思いますが、重要な問題だと思います。

平方根とは、二乗するとその数になる数のことを表します。

平方根を表す記号は根号(√)で、ルートと読みます。つまり、$\sqrt2$を二乗すると2になります。

根号のついた数字やその計算については、こちらをご覧ください。

式の展開は、簡単に言えばかっこを外すことです。

展開の基本的なテクニックは、分配法則です。

$$𝑎×(𝑏+𝑐)=𝑎×𝑏+𝑎×𝑐$$

と、いうように括弧の外から何かがかけられているとき、括弧の中の項それぞれにそれをかけて、かっこを外すことができます。

この法則を繰り返し用いることで、かっこを複数含むような複雑な式も少しずつ展開していくことができます。

例

\begin{align*}
(a+b)(a+c)&=(a+b)\times a+(a+b)\times c\\
&=a^2+ab+ac+bc
\end{align*}
\begin{align*}
(a+b)(a-b)&=(a+b)\times a – (a+b)\times b\\
&=a^2+ab-(ab+b^2)\\
&=a^2+ab-ab-b^2\\
&=a^2-b^2
\end{align*}
\begin{align*}
(a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\
&=(a+b)\times a+(a+b)\times b\\
&=a^2+ab+ab+b^2\\
&=a^2+2ab+b^2
\end{align*}

ここで紹介した例は、このように展開することで求めることができますが、公式として覚えておきましょう。よく出てくるパターンな上、因数分解などで逆に使うこともあります。