問題
難易度☆☆
この問題では、図のような長方形の土地の中に、道を作るという設定がよく使われます。
その上で、道以外の部分の面積の合計が与えられ、道の幅を求めさせます。
方程式で求めることになるので、斜線部分の面積を文字を使って表すことが必要ですが、図形がバラバラでうまく式が作れないかもしれません。
でも、ご安心ください。ある工夫でとても簡単に式を作ることができるようになります。
入試ではこのように、方程式を解くだけでなく方程式を作る能力も必要です。
その段階で工夫が必要になることも多く、パターンも多いので一つ一つ知って、慣れていくしかありません。
授業
二次方程式の解の公式
二次方程式を解くとき、一般的なやり方は因数分解をするやり方です。
しかし、小数や分数が解に含まれるとき、そのパターンは無限にあり、人間では解の組み合わせを見つけることができません。
そこで使われるのが、解の公式です。
一般に二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解は、次の式で表されます。
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
※\(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)と\(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)の2つを合わせた書き方。まとめて書いてるだけ。
この公式を使えば、因数分解などの手間をかけることなくどんな方程式も計算で求めることができます。
しかし一方で、見ての通り分数・根号・累乗といった計算がめんどくさい要素がたくさん詰まっているので、できるだけ普通に解いた方が圧倒的に楽でしょう。
では、解の公式を使った二次方程式の解き方の例をあげておきます。
・\(2x^2+4x+1=0\)
\begin{align*}
x&=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\times2\times1}}{2\times2} \\
&=\frac{-4\pm\sqrt{8}}{4} \\
&=\frac{-4\pm2\sqrt{2}}{4}\\
&=\frac{-2\pm\sqrt{2}}{2}
\end{align*}
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