高難度図形問題

3年

問題

難易度☆☆☆☆

難易度が高めの図形問題です。

三角形の相似・三角形の面積と辺の比の関係・三平方の定理・比の計算・根号を含む計算…と、多くの要素が含まれています。全てをよく理解していないと途中で混乱してしまうでしょう。

その上中途半端な数字が出てくるため、計算ミスも起こしやすいです。

わかった数字から図に書き込んでいくなど、自分で整理しながら解いていく必要があります。

相似な図形は、同じ形で大きさのみが違う図形のことです。

相似について、詳しくはこちらをご覧ください。

さて、相似な図形では全ての辺の長さの比が相似比に等しいという性質がありました。

では、面積にはどのような関係があるのでしょうか？

例えば、相似比が\(1:2\)、つまり2倍に拡大した三角形の面積を比較するとどのようになるのでしょうか？

2倍に拡大したのだから面積も2倍？実は、そうではないのです。

図のように、底辺が\(a\)、高さ\(b\)の三角形を2倍に拡大すると底辺・高さともに2倍になります。

三角形の面積の公式は\(\text{底辺}\times\text{高さ}\times\frac{1}{2}\)ですので、左の三角形の面積は\(\frac{1}{2}ab\)、右の三角形の面積は\(2ab\)で、4倍になっています。

したがって、相似比が\(1:2\)の三角形だと面積比は\(1:4\)です。

一般に、相似比が\(l:m\)な図形では面積比は\(l^2:m^2\)となります。

三角形の高さを変えずに、底辺の長さだけを変えると面積はどうなるでしょうか？

例えば図のように底辺の長さの比が\(1:2\)で、高さが同じ三角形があるとします。

三角形の面積は\(\text{底辺}\times\text{高さ}\times\frac{1}{2}\)で求められるので、左の三角形の面積は\(\frac{1}{2}ab\)、右の三角形の面積は\(ab\)となります。よって、面積比は\(1:2\)です。

このように、高さが同じで底辺の長さの比が\(l:m\)の三角形では、面積比も\(l:m\)となります。

複雑な図形問題では、高確率で三平方の定理を使います。

三平方の定理は、直角三角形の2つの辺の長さがわかっているときに、もう1つの辺の長さを求めるために使える、便利な定理です。

三平方の定理について詳しくはこちらをご覧ください。

高校受験で高得点を取るためには必須の定理です！

比は、2つ以上の数の大きさの関係を表したものです。

例えば、商品Bの値段が商品Aの値段の2倍だったとき、商品Aの値段を”1″とすると商品Bの値段は”2″です。

この場合、「商品Aと商品Bの値段の比は\(1:2\)(1たい2と読む)である」というふうにいいます。

実際に比を使う問題を解いていくと、複雑な比に出会うことがあります。

例えば棒Aの長さが\(72\mathrm{cm}\)、棒Bの長さが\(108\mathrm{cm}\)の場合、棒AとBの長さの比は\(72:108\)ということになります。

しかし、数字が大きいと2つの数の関係がわかりにくいですよね。

この場合、比をもっと簡単な数字で表すことができます。

具体的には、72と108はどちらも36の倍数なので、両方とも36で割ってしまって、\(2:3\)とするだけです。\(72:108\)と\(2:3\)は同じ比を表します。

なぜなら、比は長さの関係を表しただけのものであり実際の長さを表す必要はありません。
したがって、「棒Bの長さが棒Aの長さの\(\frac{3}{2}\)倍である」という関係のみを表せたら良いのです。

一般に、\(a:b\)という比は両方を同じ数\(c\)で割って\(\frac{a}{c}:\frac{b}{c}\)としたり、同じ数\(d\)をかけて\(ad:bd\)としても大丈夫です。
この性質を使って大きな数や分数を使う複雑な比を簡単な整数比で表すことができます。

根号は、入試の最初の計算問題で問われるだけでなく、最後の方の難易度の高い図形問題などでは複雑な計算をすることになります。

したがって、本番までに必ず慣れておきたい計算です。

根号を含む式の計算について詳しくはこちらをご覧ください。