問題
難易度☆☆☆
今回の問題は、二次関数と直線の式、グラフ、三角形の等積変形のテクニックを使います。
関数については、グラフから式を求めたり交点を求めたりといった基本的なことができればあまり心配はいりません。
一方の等積変形は入試の図形問題でよく使うテクニックですが、私の体感では覚えていない人が多いように思います。
また覚えていたとしても複雑な図形の中で正確に使うことは難しいかもしれません。
今回の問題は、図形としてはシンプルな部類に入ると思うので、しっかり慣れておきたいですね。
授業
二次関数のグラフ
受験で高確率で出る、二次関数のグラフ。
二次関数のグラフは、ものを投げたときのような曲線を描くので放物線と呼ばれます。
ここでは、一般的な二次関数\(y=ax^2\)のグラフについて解説します。
まず、\(y=ax^2\)のグラフはどのような形をしているのでしょうか。
\(a=1\)と仮定して、\(y=x^2\)のグラフを描いてみましょう。
といっても、放物線は曲線なので定規などの道具を使っても人間が正確に描くことはできません。
そこで、放物線が通る点をいくつかプロットし、その点を全て通るように滑らかな線で繋いであげることで大体の形を描きます。
\(y=x^2\)では、
- \(x=0\)の場合、\(y=0\)
- \(x=1\)または\(x=-1\)の場合、\(y=1\)
- \(x=2\)または\(x=-2\)の場合、\(y=4\)
- \(x=3\)または\(x=-3\)の場合、\(y=9\)
これらをプロットします。
この点を滑らかな線で繋ぐと下の図のようになります。実際に手で描く場合はもちろん、通るべき点を通っていれば少し線が歪んでいたくらいでバツになることはないので安心してください。
これが、放物線と呼ばれる二次関数のグラフです。
さて、このグラフ、x軸より上側にしかないことにお気づきでしょうか。
その理由は、正の数に正の数をかけているからなのです。
\(y=x^2\)は\(y=1\times x^2\)のことです。
\(x\)が正の値だったとしても負の値だったとしても\(x^2\)は正の数になります。
また当然1は正の数であり、正の数と正の数をかけた\(y=1\times x^2\)の\(y\)は必ず正の数になります。
したがって、\(y=x^2\)のグラフは\(y\)の負の領域には入らないのです。
逆に\(a=-1\)としたときの\(y=-x^2\)などのように、\(a\)が負の数のときは必ず\(y\)の値は負の数になるので、x軸より下側に放物線ができることになります。
直線の式
直線は、一次関数のグラフです。
すなわち、直線の式は必ず一次関数で表されます。
直線から一次関数の式を求める方法はこちらをご覧ください。
三角形の等積変形
三角形の面積は、どんな三角形でも\(\text{底辺}\times \text{高さ}\times \frac{1}{2}\)で表されます。
つまり、底辺と高さが変わらなければ、三角形の面積が変わることはないのです。
そのため、下図のように底辺を固定して頂点を底辺と平行に動かしても三角形の面積は変わりません。
連立方程式
連立方程式は、計算問題や文章題で出るだけでなく、グラフの交点を求めるなど図形問題でも使うことがあります。
入試では必須のテクニックと言えるでしょう。
連立方程式について自信がない人は、こちらをご覧ください。
因数分解
足し算や引き算を含む式を\((\circ\circ)\times (\circ\circ)\)と積の形に直すのが因数分解です。
因数分解によく使われる公式は以下の通りです。
- \(x^2\pm2ax+a^2=(x\pm a)^2\)
- \(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\)
- \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
この公式は、逆に右辺を計算(展開)してみると左辺になることが確かめやすいと思います。
例えば、以下の式は式は1番目の公式を使って、次のように因数分解できます。
\begin{align*}
x^2+6x+9&=x^2+(2\times3)x+3^2\\
&=(x+3)^2
\end{align*}
これは、\((x+3)\times(x+3)\)のことであり、\((\circ\circ)\times (\circ\circ)\)の形です。
また、共通因数でくくるといったような技も因数分解にはよく使われます。
例えば\(4x^2\)、\(2x\)、8はどれも2を因数に持っているので、
\begin{align*}
4x^2+2x+8=2(2x^2+x+4)
\end{align*}
というように、全ての項が共通してもつ因数を括弧の外に出してやることで掛け算の形に直すことができます。
2つの技を順番に使って、
\begin{align*}
2x^2-18&=2(x^2-9)\\
&=2(x+9)(x-9)
\end{align*}
というように、ます共通因数でくくってから公式を使って因数分解をするような場合もあります。
二次方程式
二次方程式は二次関数の方程式です。
一次関数の場合の普通の方程式と比べて、因数分解などのテクニックが必要になるため、難しくなりやすいです。
2乗の計算もあるため計算ミスもしやすくなります。
二次方程式の一般的な解き方の1つは全ての項を一度左辺に集め、式を整理して因数分解する方法です。
例として、\(x^2+3x=-2\)を解いてみましょう。
\begin{align*}
&x^2+3x=-2\\
&x^2+3x+2=0\\
&(x+1)(x+2)=0\\
&x=-1,-2
\end{align*}
ここで、\((x+1)(x+2)=0\)は、「\((x+1)\)と\((x+2)\)をかけたら0になる」という意味です。
2つの数字をかけるとき、どちらか1つが0であればもう1つが何であろうと強制的に答えが0になりますよね。
なので、この場合は「\((x+1)\)か\((x+2)\)のどちらかが0」であれば良いわけです。
したがって、「xの値は-1か-2」ということになります。
お気に入りに追加