問題
難易度☆☆☆
三角錐の一部の三角錐の体積を求めることが目的の問題です。
面積や体積の比を繰り返し使いながら、立体を分割していかなければなりません。
さらに、三角錐の体積を求めるには底面積と高さが必要ですが、うまく底面を選ばないとそれらを求めることができません。どの面を底面と捉えるとうまく体積を求めることができるか、よく考えてみてください。
授業
三角形の面積と辺の比
高さが同じ三角形が2つあるとき、それらの面積比は底辺の長さの比と等しくなるという関係があります。
詳しくはこちらの記事をご覧ください。
三平方の定理
三平方の定理は、直角三角形の2つの辺の長さがわかっているとき、もう1つの辺の長さを求めるために使える定理です。
詳しくはこちらをご覧ください。
体積
ある立体の体積とは、「その立体が占める三次元空間上の領域の大きさ」のことです。
言葉が難しくてわかりにくいですよね。
わかりやすくなるかどうかわかりませんが、コップいっぱいに入れた水に石を入れる場面を想像してください。
水が溢れますよね。大きい石ほどたくさんの水が溢れます。
これは、今まで水が占めていたコップ内の空間を石が横取りして占めたために、水がその空間から追い出されるからです。追い出された水は上下左右に広がりますが、コップのガラスに邪魔され上にのみ逃げることになり、溢れてしまいます。
大きい石ほどたくさんの領域を占領するので、多くの水が追い出されることになります。
「たくさんの領域を占領する」石ほど「体積が大きい」ということになります。
立体の種類によって体積の求め方は異なりますが、中学生が求めるのは「柱」と「錐」と呼ばれる2種類の立体です。
体積の単位は面積の単位より右上の数字が1多く、\(\mathrm{cm^3}\)のように右上に3がつきます。
柱の体積
平面に描いた図形を、平面とは垂直に押し出したような立体を柱と呼びます。
このとき、押し出される前の平面に描かれた図形を底面、押し出した高さをそのまま高さと言います。
柱は、底面の種類により呼び方が変わり、円柱(えんちゅう)・三角柱(さんかくちゅう)・四角柱(しかくちゅう)などがあります。
上の図は三角柱の場合の例です。
柱の体積は、\(\text{底面積}\times\text{高さ}\)で求まります。
底面の三角形の面積が\(10\mathrm{cm^2}\)で、高さが\(3\mathrm{cm}\)の三角柱の体積は\(30\mathrm{cm^3}\)です。
ちなみに、\(\mathrm{cm^2}\)(二乗)に\(\mathrm{cm}\)をかけるので、単位が\(\mathrm{cm^3}\)(三乗)になると覚えておいてください。
錐の体積
錐とは、尖った柱のことです。
錐は、底面の種類により呼び方が変わり、円錐(えんすい)・三角錐(さんかくすい)・四角錐(しかくすい)などがあります。
上の図は三角錐です。
錐の体積は、\(\text{底面積}\times\text{高さ}\times\frac{1}{3}\)で求まります。同じ底面積・高さの柱の体積の\(\frac{1}{3}\)倍ですね。
底面の三角形の面積が\(10\mathrm{cm^2}\)で、高さが\(3\mathrm{cm}\)の三角錐の体積は\(10\mathrm{cm^3}\)です。
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